ექსპონენციალურ ფუნქციებს შეუძლიათ მრავალი სიტუაციის შეცვლის სიჩქარის მოდელირება, მათ შორის მოსახლეობის ზრდა, რადიოაქტიური დაშლა, ბაქტერიების ზრდა, რთული ინტერესი და მრავალი სხვა. მიჰყევით ამ ნაბიჯებს ექსპონენციალური განტოლების დასაწერად, თუ იცით სიჩქარე, რომლის დროსაც ფუნქცია იზრდება ან იშლება და ჯგუფის საწყისი მნიშვნელობა.
ნაბიჯები
მეთოდი 1 -დან 2 -დან: შეაფასეთ როგორც ბაზა
ნაბიჯი 1. განვიხილოთ მაგალითი
დავუშვათ, საბანკო ანგარიში იწყება $ 1,000 დეპოზიტით და საპროცენტო განაკვეთი ყოველწლიურად 3% -ით. იპოვნეთ ამ ფუნქციის მოდელირების ექსპონენციალური განტოლება.
ნაბიჯი 2. იცოდე ძირითადი ფორმა
ექსპონენციალური განტოლების ფორმა არის f (t) = P0(1+რ)ტ/სთ სადაც პ0 არის საწყისი მნიშვნელობა, t არის დროის ცვლადი, r არის მაჩვენებელი და h არის რიცხვი, რომელიც საჭიროა იმისთვის, რომ t- ის ერთეულები შეესაბამებოდეს განაკვეთს.
ნაბიჯი 3. შეაერთეთ საწყისი მნიშვნელობა P- სთვის და განაკვეთი r. გექნებათ f (t) = 1, 000 (1.03)ტ/სთ.
ნაბიჯი 4. იპოვეთ თ
დაფიქრდით თქვენს განტოლებაზე. ყოველწლიურად, ფული იზრდება 3%-ით, ამიტომ ყოველ 12 თვეში ფული იზრდება 3%-ით. ვინაიდან თქვენ უნდა მიაწოდოთ t თვეში, თქვენ უნდა გაყოთ t 12 -ზე, ასე რომ h = 12. თქვენი განტოლება არის f (t) = 1, 000 (1.03)ტ/12რა თუ ერთეულები თანაბარია განაკვეთისა და t ნამატებისათვის, h ყოველთვის არის 1.
მეთოდი 2 – დან 2 – დან: „e“- ს საფუძვლად გამოყენება
ნაბიჯი 1. გაიგე რა არის e
როდესაც თქვენ იყენებთ მნიშვნელობას e როგორც ბაზა, თქვენ იყენებთ "ბუნებრივ ბაზას". ბუნებრივი ბაზის გამოყენება საშუალებას გაძლევთ უწყვეტი ზრდის მაჩვენებელი პირდაპირ განტოლებიდან.
ნაბიჯი 2. განვიხილოთ მაგალითი
დავუშვათ, ნახშირბადის იზოტოპის 500 გრამ ნიმუშს აქვს ნახევარი სიცოცხლე 50 წელი (ნახევარი სიცოცხლე არის მასალის დაშლის დრო 50%-ით).
ნაბიჯი 3. იცოდე ძირითადი ფორმა
ექსპონენციალური განტოლების ფორმა არის f (t) = aekt სადაც a არის საწყისი მნიშვნელობა, e არის ბაზა, k არის უწყვეტი ზრდის ტემპი და t არის დროის ცვლადი.
ნაბიჯი 4. შეაერთეთ საწყისი მნიშვნელობა
ერთადერთი მნიშვნელობა, რაც თქვენ გეძლევათ განტოლებაში არის ზრდის საწყისი მაჩვენებელი. ასე რომ, შეაერთეთ იგი a– ს მისაღებად f (t) = 500ekt
ნაბიჯი 5. იპოვეთ უწყვეტი ზრდის ტემპი
უწყვეტი ზრდის მაჩვენებელი არის ის, თუ რამდენად სწრაფად იცვლება გრაფიკი კონკრეტულ მომენტში. თქვენ იცით, რომ 50 წლის განმავლობაში, ნიმუში დაიშლება 250 გრამამდე. ეს შეიძლება ჩაითვალოს გრაფის წერტილად, რომლის ჩასმა შეგიძლიათ. ასე რომ, t არის 50. შეაერთეთ, რომ მიიღოთ f (50) = 500e50 ათასირა თქვენ ასევე იცით, რომ f (50) = 250, ასე რომ შეცვალეთ 250 f (50) მარცხენა მხარეს, რომ მიიღოთ ექსპონენციალური განტოლება 250 = 500e50 ათასირა ახლა განტოლების ამოსახსნელად, ჯერ გაყავით ორივე მხარე 500 -ით, რომ მიიღოთ: 1/2 = ე50 ათასირა შემდეგ აიღეთ ორივე მხარის ბუნებრივი ლოგარითმი, რომ მიიღოთ: ln (1/2) = ln (ე50 ათასირა გამოიყენეთ ლოგარითმების თვისებები, რომ ამოიღოთ ექსპონენტი ბუნებრივი ჟურნალის არგუმენტიდან და გაამრავლოთ იგი ჟურნალში. ეს იწვევს ln (1/2) = 50k (ln (e)). შეგახსენებთ, რომ ln იგივეა, რაც ჟურნალიე და რომ ლოგარითმების თვისებები ამბობენ, რომ თუ ლოგარითმის ფუძე და არგუმენტი ერთნაირია, მნიშვნელობა არის 1. ამიტომ ln (e) = 1. ამრიგად, განტოლება ამარტივებს ln (1/2) = 50k, და თუ გავყოთ 50 -ზე, ისწავლით რომ k = (ln (1/2))/50. გამოიყენეთ თქვენი კალკულატორი, რომ k- ის ათობითი მიახლოება იყოს -01386. გაითვალისწინეთ, რომ ეს მნიშვნელობა უარყოფითია. თუ უწყვეტი ზრდის მაჩვენებელი უარყოფითია, თქვენ გაქვთ ექსპონენციალური დაშლა, თუ ის დადებითია, თქვენ გაქვთ ექსპონენციალური ზრდა.
ნაბიჯი 6. შეაერთეთ k მნიშვნელობა
შენი განტოლება არის 500e-01386 ტ.
Რჩევები
- შეიძლება დაგჭირდეთ თქვენი k მნიშვნელობის შენახვა თქვენს კალკულატორში, ასე რომ თქვენ შეგიძლიათ გამოთვალოთ თქვენი მნიშვნელობები უფრო ზუსტად ვიდრე ათობითი მიახლოებით. X არის ადვილად მისაწვდომი ცვლადი, რადგან მის მისაღწევად არ გჭირდებათ "ალფა" ღილაკზე დაჭერა, მაგრამ თუ გსურთ განტოლების გრაფიკზე გამოსახვა, დარწმუნდით, რომ გამოიყენეთ ცვლადი, რომელიც განსაზღვრულია როგორც მუდმივი, ან დამატებით დაამატებთ ცვლადები.
- თქვენ სწრაფად ისწავლით როდის გამოიყენოთ თითოეული მეთოდი. ჩვეულებრივ, პრობლემები უფრო ადვილია პირველი მეთოდის გამოყენებით, მაგრამ არის შემთხვევები, როდესაც იცით, რომ ბუნებრივი ბაზის გამოყენება გაგიადვილებთ გამოთვლებს მოგვიანებით.